ГлавнаяВ математике последовательность жонглёра — целочисленная последовательность, начинающаяся с натурального числа a0, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:
a k + 1 = { ⌊ a k 1 2 ⌋ , if a k is even ⌊ a k 3 2 ⌋ , if a k is odd {displaystyle a_{k+1}={egin{cases}leftlfloor a_{k}^{frac {1}{2}} ight floor ,&{mbox{if }}a_{k}{mbox{ is even}}\leftlfloor a_{k}^{frac {3}{2}} ight floor ,&{mbox{if }}a_{k}{mbox{ is odd}}end{cases}}}Общие сведения
Последовательности жонглера были открыты американским математиком и автором Клиффордом А. Пиковером. Например, последовательность жонглёра для a0 = 3:
a 1 = ⌊ 3 3 2 ⌋ = ⌊ 5 , 196 … ⌋ = 5 , {displaystyle a_{1}=lfloor 3^{frac {3}{2}} floor =lfloor 5,196dots floor =5,} a 2 = ⌊ 5 3 2 ⌋ = ⌊ 11 , 180 … ⌋ = 11 , {displaystyle a_{2}=lfloor 5^{frac {3}{2}} floor =lfloor 11,180dots floor =11,} a 3 = ⌊ 11 3 2 ⌋ = ⌊ 36 , 482 … ⌋ = 36 , {displaystyle a_{3}=lfloor 11^{frac {3}{2}} floor =lfloor 36,482dots floor =36,} a 4 = ⌊ 36 1 2 ⌋ = ⌊ 6 ⌋ = 6 , {displaystyle a_{4}=lfloor 36^{frac {1}{2}} floor =lfloor 6 floor =6,} a 5 = ⌊ 6 1 2 ⌋ = ⌊ 2 , 449 … ⌋ = 2 , {displaystyle a_{5}=lfloor 6^{frac {1}{2}} floor =lfloor 2,449dots floor =2,} a 6 = ⌊ 2 1 2 ⌋ = ⌊ 1 , 414 … ⌋ = 1. {displaystyle a_{6}=lfloor 2^{frac {1}{2}} floor =lfloor 1,414dots floor =1.}Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглёра, в конечном счете, достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных значений (a0) до 106, но не доказана. Гипотеза жонглера, таким образом, представляет собой проблему, похожую на проблему Коллатца, о которой Пол Эрдёш сказал, что "математика ещё не готова для таких задач". Для заданного начального числа a0, l(a0) определяется как номер первого равного единице элемента, а h(a0) - как максимальное значение в этой последовательности. Для малых значений a0 получаем:
Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений. Например, последовательность жонглёра, начинающаяся с a0 = 37, достигает максимального значения 24 906 114 455 136. Последовательность жонглёра для a0 = 48443 достигает максимального значения, которое содержит 972 463 цифры, в 60-м элементе, а 1 достигается на 157-м элементе последовательности.