Главная
Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция ? ( x ) {displaystyle ?(x)} на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} , обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида a + b , {displaystyle a+{sqrt {b}},} где a {displaystyle a} и b {displaystyle b} рациональные) на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.
Построение
Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.
Задание с помощью дерева Штерна — Броко
В концах отрезка функция Минковского задаётся как ? ( 0 ) = 0 {displaystyle ?(0)=0} и ? ( 1 ) = 1 {displaystyle ?(1)=1} . После этого для любых двух рациональных чисел a b {displaystyle {frac {a}{b}}} и c d {displaystyle {frac {c}{d}}} , для которых a d − b c = 1 {displaystyle ad-bc=1} — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте a + c b + d {displaystyle {frac {a+c}{b+d}}} определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:
? ( a + c b + d ) = 1 2 [ ? ( a b ) + ? ( c d ) ] . {displaystyle ?left({frac {a+c}{b+d}} ight)={frac {1}{2}}left[?left({frac {a}{b}} ight)+{}?left({frac {c}{d}} ight) ight].}Так
? ( 1 2 ) = ? ( 0 ) + ? ( 1 ) 2 = 1 2 , {displaystyle ?left({frac {1}{2}} ight)={frac {?(0)+{}?(1)}{2}}={frac {1}{2}},} ? ( 1 3 ) = ? ( 0 ) + ? ( 1 / 2 ) 2 = 1 4 , {displaystyle ?left({frac {1}{3}} ight)={frac {?(0)+{}?(1/2)}{2}}={frac {1}{4}},} ? ( 2 3 ) = ? ( 1 / 2 ) + ? ( 1 ) 2 = 3 4 {displaystyle ?left({frac {2}{3}} ight)={frac {?(1/2)+{}?(1)}{2}}={frac {3}{4}}}и так далее.
Поскольку последовательности
0 1 , 1 1 , {displaystyle {frac {0}{1}},{frac {1}{1}},} 0 1 , 1 2 , 1 1 , {displaystyle {frac {0}{1}},{frac {1}{2}},{frac {1}{1}},} 0 1 , 1 3 , 1 2 , 2 3 , 1 1 , {displaystyle {frac {0}{1}},{frac {1}{3}},{frac {1}{2}},{frac {2}{3}},{frac {1}{1}},}в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} (см. дерево Штерна — Броко), такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} . Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} — иными словами, плотное в [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции ? : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {displaystyle ?colon [0,1] o [0,1]} , и это и есть функция Минковского.
Задание с помощью цепной дроби
Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку x ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle xin [0,1]} , раскладывающуюся в цепную дробь как x = [ 0 ; a 1 , a 2 , … ] {displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},ldots ]} , функция Минковского переводит в
? ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 2 a 1 + … + a k − 1 . {displaystyle ?(x)=sum _{k=1}^{infty }{frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+ldots +a_{k}-1}}}.}Иными словами, точка
x = 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + … {displaystyle x={frac {1}{a_{1}+{dfrac {1}{a_{2}+{dfrac {1}{a_{3}+ldots }}}}}}}переходит в точку
? ( x ) = 0 , 0 … 0 ⏟ a 1 − 1 1 … 1 ⏟ a 2 0 … 0 ⏟ a 3 1 … 1 ⏟ a 4 … ( 2 ) . {displaystyle ?(x)=0{,}underbrace {0ldots 0} _{a_{1}-1}underbrace {1ldots 1} _{a_{2}}underbrace {0ldots 0} _{a_{3}}underbrace {1ldots 1} _{a_{4}}ldots _{(2)}.}Самоподобие
Пусть точка x ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle xin [0,1]} задаётся цепной дробью x = [ 0 ; a 1 , a 2 , … ] {displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},ldots ]} . Тогда увеличение a 1 {displaystyle a_{1}} на единицу, то есть, переход к y = [ 0 ; a 1 + 1 , a 2 , … ] {displaystyle y=[0;a_{1}+1,a_{2},ldots ]} задаётся отображением
f : x ↦ y = 1 1 + 1 x = x 1 + x , {displaystyle fcolon xmapsto y={frac {1}{1+{dfrac {1}{x}}}}={frac {x}{1+x}},}а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:
? ( x 1 + x ) = ? ( x ) 2 . ( 1 ) {displaystyle ?left({frac {x}{1+x}} ight)={frac {?(x)}{2}}.qquad (1)}С другой стороны, из симметрии относительно 1 / 2 {displaystyle 1/2} медиантной конструкции легко видеть, что
? ( 1 − x ) = 1 − ? ( x ) . ( 2 ) {displaystyle ?(1-x)=1-{}?(x).qquad (2)}Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения g ( x ) = 1 − f ( 1 − x ) = 1 − 1 − x 2 − x = 1 2 − x {displaystyle g(x)=1-f(1-x)=1-{frac {1-x}{2-x}}={frac {1}{2-x}}} функция Минковского преобразуется как
? ( 1 2 − x ) = 1 + ? ( x ) 2 . {displaystyle ?left({frac {1}{2-x}} ight)={frac {1+{}?(x)}{2}}.}Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований
F ( x , t ) = ( x 1 + x , t 2 ) , G ( x , t ) = ( 1 2 − x , 1 + t 2 ) . ( 3 ) {displaystyle F(x,t)=left({frac {x}{1+x}},{frac {t}{2}} ight),quad G(x,t)=left({frac {1}{2-x}},{frac {1+t}{2}} ight).qquad (3)}Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ F {displaystyle F} — это часть графика над отрезком [ 0 , 1 / 2 ] {displaystyle [0,1/2]} , а образ G {displaystyle G} — график над отрезком [ 1 / 2 , 1 ] {displaystyle [1/2,1]} .
Построение графика как фрактала
График функции Минковского может быть построен как предельное множество для системы итерируемых функций. А именно, отображения F {displaystyle F} и G {displaystyle G} , заданные формулами (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому последовательность множеств X n {displaystyle X_{n}} , определённая рекурсивно соотношениями
X 0 = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] , X n + 1 = F ( X n ) ∪ G ( X n ) , {displaystyle X_{0}=[0,1] imes [0,1],quad X_{n+1}=F(X_{n})cup G(X_{n}),}есть убывающая по вложению последовательность множеств, причём график Γ = { ( x , ? ( x ) ) ∣ x ∈ [ 0 , 1 ] } {displaystyle Gamma ={ig {}{ig (}x,?(x){ig )}mid xin [0,1]{ig }}} функции Минковского содержится в любом из них.
Несложно увидеть, что X n {displaystyle X_{n}} является объединением прямоугольников высоты 1 / 2 n {displaystyle 1/2^{n}} , поэтому предельное множество
X ∞ = ⋂ n X n {displaystyle X_{infty }=igcap _{n}X_{n}}является графиком некоторой функции. Поскольку Γ ⊂ X ∞ {displaystyle Gamma subset X_{infty }} , то они совпадают. Поэтому график функции Минковского это предельное множество системы итерируемых функций
F , G : [ 0 , 1 ] 2 → [ 0 , 1 ] 2 . {displaystyle F,G:[0,1]^{2} o [0,1]^{2}.}Свойства
- Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке x ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle xin [0,1]} её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} , функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
- Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
- Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число x {displaystyle x} является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности ? ( x ) {displaystyle ?(x)} .
- График функции Минковского переводится в себя отображениями F {displaystyle F} и G {displaystyle G} , заданными (3), а, следовательно, и их композициями.