ГлавнаяМногосортная алгебра — алгебраическая система с несколькими носителями. Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра. Многосортные алгебры широко применяются в современном теоретическом программировании.
Формулировка
Многосортной алгеброй называется упорядоченная пара ( ( A i ) i ∈ I , Ω ) {displaystyle ((A_{i})_{iin I},Omega )} , где элементы семейства множеств ( A i ) i ∈ I {displaystyle (A_{i})_{iin I}} называют сортами, а множество Ω {displaystyle Omega } , называемое многосортной сигнатурой, состоит из многосортных операций - отображений вида ω : A i 1 × . . . × A i n → A i 0 {displaystyle omega :A_{i_{1}} imes ... imes A_{i_{n}} ightarrow A_{i_{0}}} . Операцию ω {displaystyle omega } называют при этом n-арной операцией типа ( i 0 , i 1 , . . . i n ) {displaystyle (i_{0},i_{1},...i_{n})} .
Пример
Рассмотрим в качестве примера многосортную алгебру ( V 3 , R , + ( 1 , 1 , 1 ) , ⋅ ( 1 , 2 , 1 ) , ( ⋅ ) ( 2 , 1 , 1 ) , × ( 1 , 1 , 1 ) , ∘ ( 2 , 1 , 1 , 1 ) ) {displaystyle (V_{3},R,+(1,1,1),cdot (1,2,1),(cdot )(2,1,1), imes (1,1,1),circ (2,1,1,1))} . В качестве первого сорта используется множество V 3 {displaystyle V_{3}} трехмерных свободных геометрических векторов, в качестве второго сорта - множество действительных чисел. Первая операция - бинарная операция + {displaystyle +} сложения векторов. Результатом операции является вектор, аргументами - тоже векторы, поэтому она имеет тип ( 1 , 1 , 1 ) {displaystyle (1,1,1)} . Вторая операция - бинарная операция ⋅ {displaystyle cdot } левого умножения вектора на число. Результатом операции является вектор, первый аргумент- число, второй аргумент - вектор, поэтому она имеет тип ( 1 , 2 , 1 ) {displaystyle (1,2,1)} . Третья операция - бинарная операция ( ⋅ ) {displaystyle (cdot )} скалярного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип ( 2 , 1 , 1 ) {displaystyle (2,1,1)} . Четвертая операция - бинарная операция × {displaystyle imes } векторного умножения векторов. Результатом операции является вектор, она имеет тип ( 1 , 1 , 1 ) {displaystyle (1,1,1)} . Пятая операция - тернарная операция ∘ {displaystyle circ } смешанного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип ( 2 , 1 , 1 , 1 ) {displaystyle (2,1,1,1)} .
Свойства
Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра.