Накрытие

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение p : X → Y {displaystyle p:X o Y} линейно связного пространства X {displaystyle X} на линейно связное пространство Y {displaystyle Y} , такое, что у любой точки y ∈ Y {displaystyle yin Y} найдётся окрестность U ⊂ Y {displaystyle Usubset Y} , полный прообраз которой p − 1 ( U ) {displaystyle p^{-1}(U)} представляет собой объединение попарно непересекающихся областей V k ⊂ X {displaystyle V_{k}subset X} :

p − 1 ( U ) = V 1 ∪ V 2 ∪ … {displaystyle p^{-1}(U)=V_{1}cup V_{2}cup dots } ,

причём на каждой области V k {displaystyle V_{k}} отображение p : V k → U {displaystyle p:,V_{k} o U} является гомеоморфизмом между V k {displaystyle V_{k}} и U {displaystyle U} .

Формальное определение

Отображение p : X → Y {displaystyle p:X o Y} линейно связного пространства X {displaystyle X} на линейно связное пространство Y {displaystyle Y} называется накрытием, если у любой точки y ∈ Y {displaystyle yin Y} имеется окрестность U ⊂ Y {displaystyle Usubset Y} , для которой существует гомеоморфизм h : p − 1 ( U ) → U × Γ {displaystyle h:p^{-1}(U) o U imes Gamma } , где Γ {displaystyle Gamma } — дискретное пространство, такое что если π : U × Γ → U {displaystyle pi :U imes Gamma o U} обозначает естественную проекцию, то

p | p − 1 ( U ) = π ∘ h {displaystyle p|_{p^{-1}(U)}=pi circ h} .

Связанные определения

• Пространство Y {displaystyle Y} называется базой накрытия, а X {displaystyle X} — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз p − 1 ( y ) {displaystyle p^{-1}(y)} точки y ∈ Y {displaystyle yin Y} называют слоем над точкой y {displaystyle y} .
• Число областей V k {displaystyle V_{k}} в полном прообразе p − 1 ( U ) {displaystyle p^{-1}(U)} называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно n {displaystyle n} , то накрытие называется n {displaystyle n} -листным.
• Накрытие p : Y ~ → Y {displaystyle pcolon { ilde {Y}} o Y} называется универсальным если для любого другого накрытия q : X → Y {displaystyle qcolon X o Y} существует накрытие s : Y ~ → X {displaystyle scolon { ilde {Y}} o X} такое, что p = q ∘ s {displaystyle p=qcirc s} .

Примеры

• Пусть S 1 {displaystyle S^{1}} обозначает единичную окружность комплексной плоскости S 1 = { z ∈ C | | z | = 1 } {displaystyle S^{1}={zin {mathbb {C} ||z|=1}}} .
  • p : R → S 1 {displaystyle p:{mathbb {R} } o S^{1}} , p : x ↦ e 2 π i x {displaystyle p:xmapsto e^{2pi ix}} .
  • p : S 1 → S 1 {displaystyle p:S^{1} o S^{1}} , p : z ↦ z k {displaystyle p:zmapsto z^{k}} , где k ≠ 0 {displaystyle k eq 0} , k ∈ Z {displaystyle kin {mathbb {Z} }} .

Свойства

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} и также локальной односвязности Y {displaystyle Y} . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами π 1 ( X , x 0 ) {displaystyle pi _{1}(X,x_{0})} и π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle pi _{1}(Y,y_{0})} : если p ( x 0 ) = y 0 {displaystyle p(x_{0})=y_{0}} , то индуцированный гомоморфизм p : π 1 ( X , x 0 ) → π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle p:pi _{1}(X,x_{0}) o pi _{1}(Y,y_{0})} , отображает π 1 ( X , x 0 ) {displaystyle pi _{1}(X,x_{0})} изоморфно на подгруппу в π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle pi _{1}(Y,y_{0})} и, меняя точку x 0 {displaystyle x_{0}} в p − 1 ( y 0 ) {displaystyle p^{-1}(y_{0})} , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы H {displaystyle H} (то есть H {displaystyle H} — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы G = π 1 ( Y , y 0 ) / H {displaystyle G=pi _{1}(Y,y_{0})/H} на X {displaystyle X} , причём p {displaystyle p} оказывается факторотображением на пространство орбит Y {displaystyle Y} . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле q : [ 0 , 1 ] → Y {displaystyle q:[0,1] o Y} , q ( 0 ) = q ( 1 ) = y 0 {displaystyle q(0)=q(1)=y_{0}} , сопоставить единственный путь q ~ : [ 0 , 1 ] → X {displaystyle { ilde {q}}:[0,1] o X} , для которого q ~ ( 0 ) = x 0 {displaystyle { ilde {q}}(0)=x_{0}} и p q ~ = q {displaystyle p{ ilde {q}}=q} , то точка q ~ ( 1 ) {displaystyle { ilde {q}}(1)} будет зависеть только от класса этой петли в G {displaystyle G} и от точки x 0 {displaystyle x_{0}} . Таким образом, элементу из G {displaystyle G} отвечает перестановка точек в p − 1 ( y 0 ) {displaystyle p^{-1}(y_{0})} . Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки y 0 {displaystyle y_{0}} . Это определяет гомеоморфизм X {displaystyle X} коммутирующий с p {displaystyle p} .

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в p − 1 ( y 0 ) {displaystyle p^{-1}(y_{0})} , то есть имеется действие π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle pi _{1}(Y,y_{0})} на p − 1 ( y 0 ) {displaystyle p^{-1}(y_{0})} , называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого G = π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle G=pi _{1}(Y,y_{0})} или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе H ⊂ π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle Hsubset pi _{1}(Y,y_{0})} однозначно строится накрытие p : X → Y {displaystyle p:X o Y} , для которого образ π 1 ( X , x 0 ) {displaystyle pi _{1}(X,x_{0})} есть H {displaystyle H} .

Для любого отображения f {displaystyle f} линейно связного пространства ( Z , z 0 ) {displaystyle (Z,z_{0})} в ( Y , y 0 ) {displaystyle (Y,y_{0})} поднятие его до отображения f ~ : ( Z , z 0 ) → ( X , x 0 ) {displaystyle { ilde {f}}:(Z,z_{0}) o (X,x_{0})} существует тогда и только тогда, когда образ f ( π 1 ( Z , z 0 ) ) {displaystyle f(pi _{1}(Z,z_{0}))} лежит в H {displaystyle H} . Между накрытиями Y {displaystyle Y} имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в π 1 ( Y , y 0 ) {displaystyle pi _{1}(Y,y_{0})} . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.