Импликация




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




25.05.2022


24.05.2022


24.05.2022


23.05.2022


21.05.2022


20.05.2022


20.05.2022





Яндекс.Метрика

Импликация

03.05.2022


Импликация (от лат. implicatio «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка ⇒ {displaystyle Rightarrow } следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

  • посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
  • следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} . Результат также принадлежит множеству { 0 , 1 } {displaystyle {0,1}} . Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений 0 , 1 {displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false , true {displaystyle operatorname {false} ,operatorname {true} } или F , T {displaystyle F,T} или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция A → B {displaystyle A o B} — это сокращённая запись выражения ¬ A ∨ B {displaystyle eg Alor B} .

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b, ¬ A ∨ B {displaystyle eg Alor B} ) (материальная импликация, материальный кондиционал)

  • если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
  • если a ⩽ b {displaystyle aleqslant b} , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, A ∨ ( ¬ B ) {displaystyle Alor ( eg B)} )

  • если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
  • если a ⩾ b {displaystyle ageqslant b} , то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации ( A ∧ ( ¬ B ) {displaystyle Aland ( eg B)} )

  • если первый операнд больше второго операнда, то 1,
  • если a > b {displaystyle a>b} , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации ( ¬ A ∧ B {displaystyle lnot Aland B} ), разряд займа в двоичном полувычитателе.

  • если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
  • если a < b {displaystyle a<b} , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдёт Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А

Многозначная логика

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒ {displaystyle Rightarrow } , и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B {displaystyle Asubset B} , тогда

x ∈ A ⇒ x ∈ B . {displaystyle xin ARightarrow xin B.}

Например, если A {displaystyle A} — множество всех квадратов, а B {displaystyle B} — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B {displaystyle Asubset B} и

(a — квадрат) ⇒ {displaystyle Rightarrow } (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации A → B {displaystyle A ightarrow B} формуле ¬ A ∨ B {displaystyle eg Alor B} (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ¬ ( A ∧ ¬ B ) {displaystyle eg (Aland eg B)} , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A →⊭ {displaystyle A ightarrow vDash } , где ⊭ {displaystyle vDash } — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: