ГлавнаяТеорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.
Формулировка
Если G является связной разрешимой линейной алгебраической группой, определённой над алгебраически замкнутым полем, а
ρ : G → G L ( V ) {displaystyle ho colon G o GL(V)}представление на ненулевом конечномерном векторном пространстве V, то имеется одномерное линейное подпространство L пространства V, такое что
ρ ( G ) ( L ) = L . {displaystyle ho (G)(L)=L.}То есть, ρ ( G ) {displaystyle ho (G)} имеет инвариантную прямую L, на которой G действует посредством одномерного представления. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v, который является общим (одновременным) собственным вектором для всех ρ ( g ) , g ∈ G {displaystyle ho (g),,,gin G} .
Замечания
- Из теоремы немедленно следует, что любое неприводимое конечномерное представление связной разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность единица. Фактически, это другой способ утверждения теоремы Ли — Колчина.
- Теорема Ли утверждает, что любое ненулевое представление разрешимой алгебры Ли на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутом поле характеристики 0 имеет одномерное инвариантное подпространство.
- Аналогичный результат для алгебр Ли доказал Софус Ли, а для алгебраических групп доказал Колчин.
- Теорема Бореля о неподвижной точке обобщает теорему Ли — Колчина.
Триангуляризация
Иногда эта теорема упоминается как Теорема Ли — Колчина о триангуляризации, поскольку по индукции из неё следует, что при подходящем базисе в V образ ρ ( G ) {displaystyle ho (G)} имеет треугольный вид. Другими словами, образ группы ρ ( G ) {displaystyle ho (G)} сопряжён в GL(n,K) (где n = dim V) в подгруппу группы T треугольных матриц, стандартной подгруппы Бореля группы GL(n,K) — образ одновременно триангуляризуем.
Теорема верна, в частности, для подгруппы Бореля полупростой линейной алгебраической группы G.
Контрпример
Если поле K не замкнуто алгебраически, теорема может не выполняться. Стандартная единичная окружность, рассматриваемая как множество комплексных чисел { x + i y ∈ C ∣ x 2 + y 2 = 1 } {displaystyle {x+iyin mathbb {C} mid x^{2}+y^{2}=1}} с абсолютным значением единица, является одномерной коммутативной (а потому разрешимой) линейной алгебраической группой над вещественными числами, которая имеет двумерное представление в ортогональной группе SO(2) без инвариантной (вещественной) прямой. Здесь образ ρ ( z ) {displaystyle ho (z)} числа z = x + i y {displaystyle z=x+iy} является ортогональной матрицей
( x y − y x ) . {displaystyle {egin{pmatrix}x&y-y&xend{pmatrix}}.}