ГлавнаяСреднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} с вещественными весами w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},ldots ,w_{n}} , такими что ∑ i = 1 n w i ≠ 0 {displaystyle sum _{i=1}^{n}w_{i} eq 0} , определяется как
x ¯ = ( ∏ i = 1 n x i w i ) 1 / ∑ i = 1 n w i = exp ( 1 ∑ i = 1 n w i ∑ i = 1 n w i ln x i ) {displaystyle {ar {x}}=left(prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}} ight)^{1/sum _{i=1}^{n}w_{i}}=quad exp left({frac {1}{sum _{i=1}^{n}w_{i}}};sum _{i=1}^{n}w_{i}ln x_{i} ight)} .Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые x i = 0 {displaystyle x_{i}=0} и соответствующие веса w i ≤ 0 {displaystyle w_{i}leq 0} . Поэтому, как правило, полагают, что все числа x i > 0 {displaystyle x_{i}>0} . Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.
Если веса w 1 , … , w n {displaystyle w_{1},ldots ,w_{n}} нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:
x ¯ = ∏ i = 1 n x i w i = exp ∑ i = 1 n w i ln x i {displaystyle {ar {x}}=prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=exp sum _{i=1}^{n}w_{i}ln x_{i}} .Свойства
- Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами.
- Если все веса w i {displaystyle w_{i}} ( i = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle i=1,2,...,n} ) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.
Пример использования
Пусть дано дискретное распределение вероятностей P = { p i | i = 1 , 2 , . . . , N } {displaystyle P={p_{i}|,i=1,2,...,N}} . Обозначим через N ¯ {displaystyle {overline {N}}} среднее геометрическое взвешенное от величин 1 / p i {displaystyle 1/p_{i}} с весами p i {displaystyle p_{i}} , т.е.
N ¯ = ∏ i = 1 N ( 1 / p i ) p i {displaystyle {overline {N}}=prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}} .Тогда энтропию Шеннона распределения P {displaystyle P} можно записать в виде
H ( P ) = log N ¯ = − ∑ i = 1 N p i log p i {displaystyle H(P)=log {overline {N}}=-sum _{i=1}^{N}p_{i}log p_{i}} .Величина N ¯ {displaystyle {overline {N}}} интерпретируется как эффективное количество состояний системы.