Алмаз — это планарный неориентированный граф с 4 вершинами и 5 рёбрами. Граф представляет собой полный граф K 4 {displaystyle K_{4}} без одного ребра.
Радиус алмаза равен 1, диаметр равен 2, обхват равен 3, хроматический индекс и хроматическое число равны 3. Граф также вершинно 2-связен и рёберно 2-связен, имеет грациозную разметку и является гамильтоновым.
Графы без алмазов и запрещённые миноры
Граф является свободным от алмазов, если он не содержит алмаза в качестве порождённого подграфа. Графы без треугольников являются свободными от алмазов, поскольку любой алмаз содержит треугольник.
Семейство графов, в котором каждая связная компонента является кактусом, замкнуто вниз относительно операции образования минора графа. Это семейство графов может быть описано единственным запрещённым минором — алмазом.
Если бабочка и алмаз являются запрещёнными минорами, полученное семейство графов является семейством псевдолесов.
Алгебраические свойства
Группа автоморфизмов алмаза является группой порядка 4, изоморфной четверной группе Клейна, прямому произведению циклической группы Z/2Z на себя.
Характеристический многочлен алмаза равен x ( x + 1 ) ( x 2 − x − 4 ) {displaystyle x(x+1)(x^{2}-x-4)} . Алмаз является единственным графом с характеристическим многочленом, определяющим граф его спектром.