Постоянная Голомба — Дикмана




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




07.05.2021


06.05.2021


05.05.2021


01.05.2021


30.04.2021


29.04.2021


28.04.2021





Яндекс.Метрика

Постоянная Голомба — Дикмана

27.03.2021


Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная:

λ = 0,624 32998854355087099293638310083724 … {displaystyle lambda =0{,}62432998854355087099293638310083724dots } .

Названа по именам Соломона Голомба и Карла Дикмана. Вычисляется из всех перестановок множества из n {displaystyle n} элементов с использованием средней длины наиболее длинного цикла перестановки a n {displaystyle a_{n}} :

λ = lim n → ∞ a n n {displaystyle lambda =lim _{n o infty }{frac {a_{n}}{n}}} .

С точки зрения теории вероятностей λ n {displaystyle lambda n} является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из n {displaystyle n} элементов.

В теории чисел постоянная возникает в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа:

λ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 2 n log ⁡ ( P 1 ( k ) ) log ⁡ ( k ) {displaystyle lambda =lim _{n o infty }{frac {1}{n}}sum _{k=2}^{n}{frac {log(P_{1}(k))}{log(k)}}}

где P 1 ( k ) {displaystyle P_{1}(k)} — наибольший простой делитель числа k {displaystyle k} . Таким образом, если k {displaystyle k} — d {displaystyle d} -значное десятичное целое, то λ d {displaystyle lambda d} является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе k {displaystyle k} .

Другой источник из теории чисел — вероятность того, что второй по величине простой делитель числа n {displaystyle n} меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя n {displaystyle n} , асимптотически равная λ {displaystyle lambda } :

λ = lim n → ∞ prob ⁡ { P 2 ( n ) ⩽ P 1 ( n ) } {displaystyle lambda =lim _{n o infty }operatorname {prob} left{P_{2}(n)leqslant {sqrt {P_{1}(n)}} ight}}

где P 2 ( n ) {displaystyle P_{2}(n)} — второй по величине простой делитель n {displaystyle n} .

Существует несколько интегральных представлений для λ {displaystyle lambda } :

λ = ∫ 0 ∞ e − t − Ei 1 ⁡ ( t ) d t {displaystyle lambda =int _{0}^{infty }e^{-t-operatorname {Ei} _{1}(t)}dt} , где Ei 1 ⁡ ( t ) {displaystyle operatorname {Ei} _{1}(t)} — модифицированная интегральная показательная функция, λ = ∫ 0 ∞ ρ ( t ) t + 2 d t {displaystyle lambda =int _{0}^{infty }{frac { ho (t)}{t+2}}dt} λ = ∫ 0 ∞ ρ ( t ) ( t + 1 ) 2 d t {displaystyle lambda =int _{0}^{infty }{frac { ho (t)}{(t+1)^{2}}}dt} , где ρ ( t ) {displaystyle ho (t)} — это функция Дикмана.

Вопрос о рациональности или иррациональности постоянной открыт.