Помимо среднего размера зерен структуру характеризует их распределение: по размерам (объемам, площадям, диаметрам) и по числу граней. При неизменном суммарном объеме средний размер зерен растет за счет исчезновения некоторых из них. В двумерном случае исчезнуть может только треугольное зерно. Все остальные, теряя по одному ребру при переключении грани, могут в конце концов попасть в “крайний” разряд треугольных.
Если бы по мере роста зерен для их безразмерных характеристик, например доли p(V/) объема, занятой зернами данного (нормированного) объема зерна V/, или доли p(g) числа зерен с данным числом граней, сохранялся бы вид распределения, то такая автомодельность, или динамический скейлинг облегчала бы прогноз роста. Неизвестно, однако, существует ли хотя бы одно автомодельное распределение зерен? Сходятся ли к нему по мере эволюции все распределения (независимо от исходного) или хотя бы некоторые? Если сходятся, то за какое время (после исчезновения какой доли зерен)? Если нет, то у каждого исходного распределения p(V/) свой путь эволюции.
Как измерено в алюминии, среднее число граней зерна выросло с = 8,3 до = 11,5 при увеличении времени отжига при 0,83 Тпл от 3 до 15 ч — автомодельность еще не достигнута.
Некоторые простейшие модели дают автомодельное распределение размеров зерна: например, если, пренебрегая кривизной границ 1/R, описывать просто эволюцию вершин и соединяющих их отрезков. Однако именно кривизна границ и определяет разную скорость роста (и уничтожения) зерен разного размера.
Если же задать скорость роста зерна w(x) как некоторую функцию его размера х, то чтобы сохранялся и суммарный объем зерен, и распределение р(у) их нормированного размера у = х/<х>, нужно исходное распределение р0(у) вполне определенного вида, вытекающего из w(x). При всяком ином начальном распределении р0(у) динамического скейлинга нет: вид р(у) по мере роста меняется, а от разных исходных р0(у) проходит через разные состояния, не достигая стационарного.
Если к простейшему закону роста dR/dt ~ 1/R добавить случайные блуждания границ (с нулевым средним и без корреляции — “белый шум”), то получается уравнение типа Фоккера — Планка, для которого есть точное решение: от любого начального распределения р0(у) оно по мере роста зерна сходится к одному и тому же рх(у), которое далее неизменно (динамический скейлинг). Это распределение рJy) весьма близко к логарифмически нормальному. He оценено только время сходимости (или увеличение среднего зерна на нестационарной стадии), которое для разных исходных состояний очевидно разное.
Ho у всех моделей с простым законом роста вида dx/dt = w(x) главное упущение в том, что скорость роста w(x) однозначно зависит от объема зерна. Между тем скорость миграции границы между крупным зерном хi и мелким xi — это одна и та же скорость (с точностью до знака: w(x2) = -w(x1) - движения границ согласованы).
Для такого согласования нельзя допускать, что соседства крупного и мелкого зерна просто пропорциональны числу граней у того и другого (“топологический газ”). С шаром могут соприкасаться не более двенадцати равных ему шаров, поэтому зерно с g > 12 гранями соприкасается преимущественно с более мелкими зернами (g < 12) — существует сильный “ближний порядок” - корреляция в соседствах крупных и мелких зерен.
Главная