ГлавнаяВ n-угольнике сумма внутренних углов Eai = (и - 2)п, а в среднем угол <а>n = (n—2)п/n = п(1—2/n). Поэтому в шестиугольнике <а>6 = 2л/3 соответствует условию равновесия (1) для границ равной энергии, тогда как при числе сторон n = 3; 4; 5 углы а меньше, и для равновесия ребра должны искривляться, выпучиваясь наружу (рис. 96). При n > 6, напротив, для равновесия ребра должны втягиваться внутрь, делая многоугольник вогнутым. (Известна вариационная задача о минимуме длины границ при равновесных углах а в стыках, где границы аппроксимировали кубическим полиномом).
Когда в стыке трех плоских границ углы неравновесные, одна граница удлиняется, а две другие укорачиваются, искривляясь (см. рис. 92, д). Сначала в стыке установится локальное равновесие. Затем искривленный участок, расширяясь, спрямляется и приближает стык к точке равновесия (как на рис. 92, г).
В трехмерном пространстве кроме выпуклых и вогнутых возможны седлообразные грани зерен: выпуклые в одном сечении и вогнутые в другом (в одной и той же точке). Если, выбрав некоторый центр внутри зерна, соединить его с границами поверхностей каждого типа, то сумма соответствующих телесных углов (Qвыпцкл + Qвогнут - Qседл) = const одинакова для любого зерна. Из этого соотношения интегральной геометрии следует, что у 4-гранного зерна преобладают выпуклые, а у многогранного — седлообразные грани.
В трех измерениях на кривизну границ наложены сильные ограничения: грань нельзя выпрямить, не сдвигая вершин. Поэтому и в равновесии грани не обязательно плоские. Кривизна граней видна, когда поликристалл рассыпан на зерна, но измеряли только кривизну на плоскости шлифа: в отожженном алюминии при широком диапазоне размеров зерна радиус кривизны R = 3,2 - пропорционален средней хорде .
Кривизна границ порождает движущую силу миграции, направленную к центру сферы. Под ее действием многоугольные зерна должны расти, а зерна с 3, 4 и 5 ребрами сокращаться. По мере роста зерен кривизна их границ уменьшалась: в алюминии после конца первичной рекристаллизации - втрое, достигнув некоторого стационарного уровня после удвоения поперечника зерна.