Раскрытие неопределённостей




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




03.12.2021


03.12.2021


03.12.2021


03.12.2021


29.11.2021


27.11.2021


26.11.2021





Яндекс.Метрика

Раскрытие неопределённостей

03.10.2021


Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь 0 { extstyle 0} — бесконечно малая величина, а ∞ {displaystyle infty } — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов (   0 0 ) {displaystyle left(~0^{0} ight)} , ( 1 ∞ ) {displaystyle left(1^{infty } ight)} , ( ∞ 0 ) {displaystyle left(infty ^{0} ight)} пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

(   0 0 ) = ( e 0 ⋅ ln ⁡ 0 ) = ( e 0 ⋅ ( − ∞ ) ) {displaystyle left(~0^{0} ight)=left(e^{0cdot ln {0}} ight)=left(e^{0cdot (-infty )} ight)} (   1 ∞ ) = ( e ∞ ⋅ ln ⁡ 1 ) = ( e ∞ ⋅ 0 ) {displaystyle left(~1^{infty } ight)=left(e^{infty cdot ln {1}} ight)=left(e^{infty cdot 0} ight)} (   ∞ 0 ) = ( e 0 ⋅ ln ⁡ ∞ ) = ( e 0 ⋅ ∞ ) {displaystyle left(~infty ^{0} ight)=left(e^{0cdot ln {infty }} ight)=left(e^{0cdot infty } ight)}

Для раскрытия неопределённостей типа ∞ ∞ {displaystyle {frac {infty }{infty }}} используется следующий алгоритм:

  • Выявление старшей степени переменной;
  • Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
  • Для раскрытия неопределённостей типа ( 0 0 ) {displaystyle left({frac {0}{0}} ight)} существует следующий алгоритм:

  • Разложение на множители числителя и знаменателя;
  • Сокращение дроби.
  • Для раскрытия неопределённостей типа ( ∞ − ∞ ) {displaystyle (infty -infty )} иногда удобно применить следующее преобразование:

    Пусть f ( x ) → x → a ∞ {displaystyle f(x){xrightarrow {x o a}}infty } и g ( x ) → x → a ∞ {displaystyle g(x){xrightarrow {x o a}}infty } ; lim x → a [ f ( x ) − g ( x ) ] = ( ∞ − ∞ ) = lim x → a ( 1 1 f ( x ) − 1 1 g ( x ) ) = lim x → a 1 g ( x ) − 1 f ( x ) 1 g ( x ) ⋅ 1 f ( x ) = ( 0 0 ) {displaystyle lim _{x o a}[f(x)-g(x)]=(infty -infty )=lim _{x o a}left({frac {1}{frac {1}{f(x)}}}-{frac {1}{frac {1}{g(x)}}} ight)=lim _{x o a}{frac {{frac {1}{g(x)}}-{frac {1}{f(x)}}}{{frac {1}{g(x)}}cdot {frac {1}{f(x)}}}}=left({frac {0}{0}} ight)} .

    Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

    При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

    Пример

    lim x → a a x − x a x − a , a > 0 {displaystyle lim _{x o a}{frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0} — пример неопределённости вида ( 0 0 ) {displaystyle left({frac {0}{0}} ight)} . По правилу Лопиталя lim x → a a x − x a x − a = lim x → a a x ln ⁡ a − a x a − 1 1 = a a ( ln ⁡ a − 1 ) {displaystyle lim _{x o a}{frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=lim _{x o a}{frac {a^{x}ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(ln a-1)} . Второй способ — прибавить и отнять в числителе a a {displaystyle a^{a}} и дважды применить теорему Лагранжа, к функциям a x {displaystyle a^{x}} и x a {displaystyle x^{a}} соответственно:

    a x − x a x − a = a x − a a − ( x a − a a ) x − a = a c ln ⁡ a ( x − a ) − a d a − 1 ( x − a ) x − a = a c ln ⁡ a − a d a − 1 {displaystyle {frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={frac {a^{c}ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}ln a-ad^{a-1}}

    здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.

    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: