ГлавнаяТеорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе.
Формулировка
λ k = inf L k sup x ∈ L k ∩ S ( A x , x ) ( x , x ) {displaystyle lambda _{k}=inf limits _{L_{k}}sup limits _{xin L_{k}cap S}{frac {(Ax,x)}{(x,x)}}} A {displaystyle A} — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве, S {displaystyle S} — единичная сфера, e = e 1 … e n {displaystyle e=e_{1}dots e_{n}} — ортонормированный базис пространства V {displaystyle V} , состоящий из собственных векторов оператора A {displaystyle A} , λ k {displaystyle lambda _{k}} — k {displaystyle k} -ое собственное значение оператора A {displaystyle A} и λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n {displaystyle lambda _{1}leq lambda _{2}leq dots leq lambda _{n}} L k {displaystyle L_{k}} — k {displaystyle k} -мерное подпространство V {displaystyle V} .Доказательство
p = n − k + 1 {displaystyle p=n-k+1} ,
L k {displaystyle L_{k}} — k {displaystyle k} -мерное подпространство V {displaystyle V} ,
W n − k + 1 {displaystyle W_{n-k+1}} — линейная оболочка векторов e k … e n {displaystyle e_{k}dots e_{n}} .
dim L k + dim W n − k + 1 = n + 1 {displaystyle dim L_{k}+dim W_{n-k+1}=n+1} .
Откуда следует, что L k ∩ W n − k + 1 ≠ ∅ {displaystyle L_{k}cap W_{n-k+1}
eq {varnothing }} . Пусть x 0 ∈ L k ∩ W n − k + 1 {displaystyle x_{0}in L_{k}cap W_{n-k+1}} и ‖ x 0 ‖ = 1 {displaystyle |x_{0}|=1} .
Так как λ k = sup x ∈ L k ∩ S ( A x , x ) , {displaystyle lambda _{k}=sup limits _{xin L_{k}cap S}(Ax,x),} то ( A x 0 , x 0 ) ( x 0 , x 0 ) ≤ λ k {displaystyle {frac {(Ax_{0},x_{0})}{(x_{0},x_{0})}}leq lambda _{k}} .
С другой стороны: так как x 0 ∈ L k {displaystyle x_{0}in L_{k}} то
Равенство достигается при L k = L ( e 1 … e k ) {displaystyle L_{k}=L({e_{1}dots e_{k}})} .
Дополнительно
Очевидно, что sup L k inf x ∈ L k ∩ S ( A x , x ) = inf L n − k + 1 sup x ∈ L n − k + 1 ∩ S ( A x , x ) {displaystyle sup limits _{L_{k}}inf limits _{xin L_{k}cap S}(Ax,x)=inf limits _{L_{n-k+1}}sup limits _{xin L_{n-k+1}cap S}(Ax,x)} .