Тензор деформации




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




24.09.2021


24.09.2021


20.09.2021


19.09.2021


13.09.2021


11.09.2021


09.09.2021





Яндекс.Метрика

Тензор деформации

26.07.2021


Тензор деформации — тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации.

Тензор деформации Коши-Грина в классической сплошной среде (частицы которой являются материальными точками и обладают лишь тремя трансляционными степенями свободы) определяется как

ε i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i + ∑ l ∂ u l ∂ x i ∂ u l ∂ x j ) {displaystyle varepsilon _{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}+sum limits _{l}{frac {partial u_{l}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{l}}{partial x_{j}}} ight)} ,

где u {displaystyle mathbf {u} } — вектор, описывающий смещение точки тела: его координаты — разность между координатами близких точек после ( d x i ′ {displaystyle dx_{i}^{prime }} ) и до ( d x i {displaystyle dx_{i}} ) деформации. Дифференцирование производится по координатам в отсчётной конфигурации (до деформирования). Расстояния до и после деформации связаны через ε i j {displaystyle varepsilon _{ij}} :

d l ′ 2 = d l 2 + 2 ε i j d x i d x j {displaystyle dl^{prime 2}=dl^{2}+2varepsilon _{ij},dx_{i},dx_{j}}

(по повторяющимся индексам ведётся суммирование).

По определению тензор деформации симметричен, то есть ε i j = ε j i {displaystyle varepsilon _{ij}=varepsilon _{ji}} .

В некоторых источниках этот тензор деформации называют тензором деформации Грина-Лагранжа, а правую меру деформации Коши-Грина (удвоенный обсуждаемый тензор деформации плюс единичный тензор) — правым тензором деформации Коши-Грина.

Нелинейный тензор деформации Коши-Грина обладает свойством материальной объективности. Это означает, что если кусок деформируемого тела совершает жесткое движение, тензор деформации поворачивается вместе с элементарным объёмом материала. Удобно использовать такие тензоры при записи определяющих уравнений материала, тогда принцип материальной объективности выполняется автоматически, то есть если наблюдатель двигается относительно деформируемой среды, поведение материала не меняется (тензор напряжений поворачивается в системе отсчёта наблюдателя вместе с элементарным объёмом материала).

Существуют также другие объективные тензоры деформации, например, тензор деформации Альманси, тензоры деформации Пиола, Фингера и т. д. В некоторые из них входят производные от перемещений по координатам в отсчётной конфигурации (до деформирования), а в некоторые — по координатам в актуальной конфигурации (после деформирования).

То, что в классической сплошной среде энергия деформации зависит лишь от симметричного тензора деформации, следует из закона баланса моментов. Любая взаимно-однозначная функция объективного тензора деформации будет также объективным тензором деформации. Например (в силу симметричности и положительной определенности тензора деформации) можно использовать квадратный корень из тензора деформации Коши-Грина. Однако, задавая определяющие уравнения при помощи этих тензоров, важно следить за предположениями о характере зависимости свободной энергии (или напряжений) от тензоров деформации. Ясно, что предположения о, скажем, дифференцируемости свободной энергии по тензору деформации Коши-Грина, по корню из него или по его квадрату приведут к уравнениям совершенно разных материалов. Линейная по u {displaystyle mathbf {u} } теория общего вида при малых u {displaystyle mathbf {u} } получится лишь в первом случае.

При малых u {displaystyle mathbf {u} } можно пренебречь квадратичными слагаемыми, и пользоваться тензором деформации в виде:

ε i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) {displaystyle varepsilon _{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}} ight)}

Линейный тензор деформации Коши-Грина (совпадает с линейным тензором деформации Альманси с точностью до знака) не обладает свойством материальной объективности при больших поворотах, поэтому его не используют в определяющих уравнениях для больших деформаций. В приближении малых поворотов это свойство сохраняется.

Диагональные элементы ε i j {displaystyle varepsilon _{ij}} описывают линейные деформации растяжения либо сжатия, недиагональные — деформацию сдвига.

В сферической системе координат

ε r r = ∂ u r ∂ r {displaystyle varepsilon _{rr}={frac {partial u_{r}}{partial r}}} ε θ θ = 1 r ∂ u θ ∂ θ + u r r {displaystyle varepsilon _{ heta heta }={frac {1}{r}}{frac {partial u_{ heta }}{partial heta }}+{frac {u_{r}}{r}}} ε φ φ = 1 r sin ⁡ θ ∂ u φ ∂ φ + u θ r ctg  θ + u r r {displaystyle varepsilon _{varphi varphi }={frac {1}{rsin heta }}{frac {partial u_{varphi }}{partial varphi }}+{frac {u_{ heta }}{r}}{ ext{ctg }} heta +{frac {u_{r}}{r}}} 2 ε θ ϕ = 1 r ( ∂ u φ ∂ θ − u φ ctg  θ ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ u θ ∂ φ {displaystyle 2varepsilon _{ heta phi }={frac {1}{r}}left({frac {partial u_{varphi }}{partial heta }}-u_{varphi }{ ext{ctg }} heta ight)+{frac {1}{rsin heta }}{frac {partial u_{ heta }}{partial varphi }}} 2 ε r θ = ∂ u θ ∂ r − u θ r + 1 r ∂ u r ∂ θ {displaystyle 2varepsilon _{r heta }={frac {partial u_{ heta }}{partial r}}-{frac {u_{ heta }}{r}}+{frac {1}{r}}{frac {partial u_{r}}{partial heta }}} 2 ε φ r = 1 r sin ⁡ θ ∂ u r ∂ φ + ∂ u φ ∂ r − u φ r {displaystyle 2varepsilon _{varphi r}={frac {1}{rsin heta }}{frac {partial u_{r}}{partial varphi }}+{frac {partial u_{varphi }}{partial r}}-{frac {u_{varphi }}{r}}} .

В цилиндрической системе координат

ε r r = ∂ u r ∂ r {displaystyle varepsilon _{rr}={frac {partial u_{r}}{partial r}}} ε φ φ = 1 r ∂ u φ ∂ φ + u r r {displaystyle varepsilon _{varphi varphi }={frac {1}{r}}{frac {partial u_{varphi }}{partial varphi }}+{frac {u_{r}}{r}}} ε z z = ∂ u z ∂ z {displaystyle varepsilon _{zz}={frac {partial u_{z}}{partial z}}} 2 ε φ z = 1 r ∂ u z ∂ φ + ∂ u φ ∂ z {displaystyle 2varepsilon _{varphi z}={frac {1}{r}}{frac {partial u_{z}}{partial varphi }}+{frac {partial u_{varphi }}{partial z}}} 2 ε r z = ∂ u r ∂ z + ∂ u z ∂ r {displaystyle 2varepsilon _{rz}={frac {partial u_{r}}{partial z}}+{frac {partial u_{z}}{partial r}}} 2 ε r φ = ∂ u φ ∂ r − u φ r + 1 r ∂ u r ∂ φ {displaystyle 2varepsilon _{rvarphi }={frac {partial u_{varphi }}{partial r}}-{frac {u_{varphi }}{r}}+{frac {1}{r}}{frac {partial u_{r}}{partial varphi }}}


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: