Главная
Теорема о гномоне — это геометрическая теорема. Она утверждает, что два параллелограмма в гномоне имеют равную площадь.
Формулировка
Дан параллелограмм A B C D {displaystyle ABCD} , на диагонали A C { extstyle AC} отмечена точка P { extstyle P} . Прямая, параллельная A B { extstyle AB} и проходящая через точку P { extstyle P} , пересекает сторону A D { extstyle AD} в точке I { extstyle I} , а сторону B C { extstyle BC} — в точке F { extstyle F} . Прямая, параллельная B C { extstyle BC} и проходящая через точку P { extstyle P} , пересекает сторону A B { extstyle AB} в точке H { extstyle H} , а сторону C D { extstyle CD} — в точке G { extstyle G} . Теорема о гномоне утверждает, что у параллелограммов H B F P { extstyle HBFP} и I P G D { extstyle IPGD} равная площадь.
Гномон — это название L-образной фигуры, в данном примере гномоном является фигура A D G P F B { extstyle ADGPFB} . Параллелограммы равной, согласно теореме, площади, называются «дополнениями» (англ. complements) гномона.
Доказательство
Для доказательства теоремы рассматриваются площадь самого большого параллелограмма ( A B C D {displaystyle ABCD} ) и двух внутренних параллелограммов, внутри которых находится диагональ A C {displaystyle AC} (это параллелограммы A I P H {displaystyle AIPH} и P G C F {displaystyle PGCF} ). Во-первых, по свойству параллелограмма диагонали делят параллелограмм на два треугольника равной площади. Во-вторых, разница площади самого большого параллелограмма и двух параллелограммов, внутри которых находится диагональ — это и есть площадь двух дополнений гномона (на рисунке дополнения гномона выделены зелёным и красным). Отсюда следует:
| I P G D | = | A B C D | 2 − | A H P I | 2 − | P F C G | 2 = | H B F P | {displaystyle |IPGD|={frac {|ABCD|}{2}}-{frac {|AHPI|}{2}}-{frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}
Связанные утверждения и обобщения
Теорема о гномоне используется для того, чтобы построить новый параллелограмм или прямоугольник равной площади с помощью циркуля и линейки. Также она позволяет дать геометрическую интерпретацию деления, что позволяет перевести геометрические задачи в алгебраические. Так, если даны длины двух отрезков, можно построить третий, равный частному данных отрезков. Ещё один способ применения теоремы — разделение отрезка точкой точно в таком же отношении, как разделён данный отрезок (см. чертёж).
Аналогичное утверждение может быть сделано в пространстве. В этом случае даётся точка на пространственной диагонали параллелепипеда и вместо двух параллельных прямых появляются три плоскости. Три плоскости разделяют параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов, две плоскости находятся рядом с диагональю. Три параллепипеда здесь играют роль дополнений, они имеют равный объём.
История
Теорема о гномоне описана в «Началах» Евклида (приблизительно в 300 год до н. э.), с её помощью в книге доказываются и другие теоремы. Теорема описана под номером 43 в первой книге «Начал», причём Евклид не использовал для описания чертежа термин «гномон» Он будет введён во второй книге «Начал». С помощью гномона Евклид доказывает и другие теоремы, например, №6 в книге II, №29 в книге VI и теоремы 1, 2, 3 и 4 в книге XIII.