где T {displaystyle T} — это некоторый оператор. В этом случае T n {displaystyle T^{n}} означает суперпозицию из n {displaystyle n} одинаковых операторов T {displaystyle T} . Если же T {displaystyle T} — элемент кольца, то T n {displaystyle T^{n}} будет означать n {displaystyle n} -ю степень элемента T {displaystyle T} .

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

( I − T ) − 1 = ∑ n = 0 ∞ T n , {displaystyle (I-T)^{-1}=sum _{n=0}^{infty }T^{n},}

где I {displaystyle I} — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор T {displaystyle T} , действующий в банаховом пространстве X {displaystyle X} , имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида I − F {displaystyle I-F} , где λ m a x ( F ) < 1 {displaystyle lambda _{max}(F)<1} — максимальное собственное значение матрицы F {displaystyle F} .

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида 1 − p {displaystyle 1-p} , где p {displaystyle p} — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

∑ n = 0 m − 1 p n , {displaystyle sum _{n=0}^{m-1}p^{n},}

где m {displaystyle m} — индекс нильпотента p {displaystyle p} .