Внутренность




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




30.07.2021


30.07.2021


29.07.2021


28.07.2021


27.07.2021


27.07.2021


25.07.2021





Яндекс.Метрика

Внутренность

02.06.2021


Внутренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Определение

Пусть дано топологическое пространство ( X , T ) , {displaystyle (X,{mathcal {T}}),} где X {displaystyle X} — произвольное множество, а T {displaystyle {mathcal {T}}} — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество A ⊂ X {displaystyle Asubset X} .

Ниже рассматривается открытость подмножеств B ⊂ A {displaystyle Bsubset A} как подмножеств всего X {displaystyle X} (например, A {displaystyle A} обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом X {displaystyle X} явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность T {displaystyle {mathcal {T}}} .

Тогда внутренность множества A {displaystyle A} можно определить несколькими эквивалентными способами:

  • Внутренность — объединение всех открытых подмножеств B ⊂ A {displaystyle Bsubset A} : int ⁡ ( A ) = ⋃ B ∈ T , B ⊂ A B {displaystyle operatorname {int} (A)=igcup limits _{Bin {mathcal {T}},;Bsubset A}B} .
  • Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество A {displaystyle A} : ( int ⁡ ( A ) ∈ T ) ∧ ( int ⁡ ( A ) ⊂ A ) ∧ ∀ B ( ( B ∈ T ) ∧ ( B ⊂ A ) ⇒ ( B ⊂ int ⁡ ( A ) ) ) {displaystyle (operatorname {int} (A)in {mathcal {T}})wedge (operatorname {int} (A)subset A)quad wedge quad forall B;((Bin {mathcal {T}})wedge (Bsubset A)Rightarrow (Bsubset operatorname {int} (A)))} .
  • Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка x ∈ A {displaystyle xin A} называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество B ⊂ A {displaystyle Bsubset A} , такое что x ∈ B {displaystyle xin B} : int ⁡ ( A ) = { x ∈ A : ∃ B ⊂ A , x ∈ B , B ∈ T } {displaystyle operatorname {int} (A)=left{xin A:exists Bsubset A,xin B,Bin {mathcal {T}} ight}} .

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Свойства

  • Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств X {displaystyle X} .
  • Внутренность int ⁡ ( A ) {displaystyle operatorname {int} (A)} — открытое множество.
  • Множество A {displaystyle A} открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью: ( A ∈ T ) ⇔ ( A = A 0 ) {displaystyle (Ain {mathcal {T}})Leftrightarrow left(A=A^{0} ight)} .
    • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
  • Операция внутренности идемпотентна: int ⁡ ( int ⁡ ( A ) ) = int ⁡ ( A ) {displaystyle operatorname {int} (operatorname {int} (A))=operatorname {int} (A)} .
  • Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению: ( A ⊂ B ) ⇒ ( int ⁡ ( A ) ⊂ int ⁡ ( B ) ) {displaystyle (Asubset B)Rightarrow left(operatorname {int} (A)subset operatorname {int} (B) ight)} .
  • В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть X {displaystyle X} — метрическое пространство с метрикой d {displaystyle d} , и M {displaystyle M} — его подмножество. Точка x ∈ M {displaystyle xin M} является внутренней для M {displaystyle M} тогда и только тогда, когда существует ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} , такое что ∀ y ∈ X , d ( x , y ) < ε ⇒ y ∈ M {displaystyle forall yin X,,d(x,y)<varepsilon Rightarrow yin M} . Иначе говоря, x {displaystyle x} входит в M {displaystyle M} вместе с шаром радиуса ε {displaystyle varepsilon } с центром в x {displaystyle x} .

Примеры

  • int ⁡ ( ∅ ) = ∅ . {displaystyle operatorname {int} (emptyset )=emptyset .}
  • Если A ⊂ R n {displaystyle Asubset mathbb {R} ^{n}} — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то int ⁡ ( A ) = ∅ {displaystyle operatorname {int} (A)=emptyset } .
  • Если X = R {displaystyle X=mathbb {R} } — вещественная прямая со стандартной топологией, и [ a , b ] ⊂ R {displaystyle [a,b]subset mathbb {R} } , то int ⁡ ( [ a , b ] ) = ( a , b ) . {displaystyle operatorname {int} ([a,b])=(a,b).}
  • Если X {displaystyle X} — дискретное пространство, то для любого A ⊂ X {displaystyle Asubset X} имеем int ⁡ ( A ) = A {displaystyle operatorname {int} (A)=A} .

Вариации

Относительная внутренность

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Квазотносительная внутренность

Алгебраическая внутренность