Ортогональное дополнение




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




05.03.2021


03.03.2021


01.03.2021


27.02.2021


27.02.2021


27.02.2021


23.02.2021





Яндекс.Метрика
         » » Ортогональное дополнение

Ортогональное дополнение

18.02.2021


Ортогональное дополнение подпространства W {displaystyle W} векторного пространства V {displaystyle V} с билинейной формой B {displaystyle B} — это множество всех векторов V {displaystyle V} , ортогональных каждому вектору из W {displaystyle W} . Это множество является векторным подпространством V {displaystyle V} , которое обычно обозначается W ⊥ {displaystyle W^{ot }} .

Определение

Пусть V {displaystyle V} — векторное пространство над полем F {displaystyle F} с билинейной формой B {displaystyle B} . Вектор u {displaystyle u} ортогонален слева вектору v {displaystyle v} , а вектор v {displaystyle v} ортогонален справа вектору u {displaystyle u} тогда и только тогда, когда B ( u , v ) = 0. {displaystyle B(u,v)=0.} Левое ортогональное дополнение подпространства W {displaystyle W} — это множество векторов, ортогональных слева каждому вектору W {displaystyle W} , то есть

W ⊥ = { x ∈ V : B ( x , y ) = 0 ∀ y ∈ W } . {displaystyle W^{ot }=left{xin V:B(x,y)=0;forall yin W ight}.}

Аналогичным образом определяется правое ортогональное дополнение. Для симметричной или кососимметричной билинейной формы B ( u , v ) = 0 ⇔ B ( v , u ) = 0 , {displaystyle B(u,v)=0Leftrightarrow B(v,u)=0,} поэтому определения левого и правого ортогонального дополнения совпадают.

Определение можно перенести на случай свободного модуля над коммутативным кольцом.

Свойства

  • Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.
  • Если X ⊆ Y {displaystyle Xsubseteq Y} , то Y ⊥ ⊆ X ⊥ . {displaystyle Y^{ot }subseteq X^{ot }.}
  • Радикал билинейной формы является подпространством любого ортогонального дополнения.
  • W ⊆ ( W ⊥ ) ⊥ . {displaystyle Wsubseteq (W^{ot })^{ot }.}
  • Если форма B {displaystyle B} является невырожденной, а пространство V {displaystyle V} конечномерно, то d i m W + d i m W ⊥ = d i m V . {displaystyle mathrm {dim} ;W+mathrm {dim} ;W^{ot }=mathrm {dim} ;V.}
  • Если же V {displaystyle V} — конечномерное евклидово пространство и B {displaystyle B} — скалярное произведение (или же унитарное пространство и эрмитово скалярное произведение соответственно), то для любого подпространства W ⊆ V {displaystyle Wsubseteq V} V {displaystyle V} разлагается в прямую сумму W {displaystyle W} и W ⊥ . {displaystyle W^{ot }.}

Пример

Пусть V {displaystyle V} — двумерное пространство с базисом e 1 , e 2 {displaystyle e_{1},e_{2}} , и матрица билинейной формы в этом базисе имеет вид ( 0 1 1 0 ) . {displaystyle {igl (}{egin{smallmatrix}0&11&0end{smallmatrix}}{igr )}.} Тогда ортогональное дополнение подпространства, натянутого на вектор a e 1 + b e 2 {displaystyle ae_{1}+be_{2}} — это множество таких векторов x e 1 + y e 2 , {displaystyle xe_{1}+ye_{2},} что a y + b x = 0. {displaystyle ay+bx=0.} Например, ортогональное дополнение пространства, натянутого на вектор e 1 {displaystyle e_{1}} , совпадает с ним самим, тогда как ортогональное дополнение ⟨ e 1 + e 2 ⟩ {displaystyle langle e_{1}+e_{2} angle } натянуто на вектор e 1 − e 2 {displaystyle e_{1}-e_{2}} .