Омега-функция Райта




Главная
Новости
Статьи
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




15.04.2021


14.04.2021


14.04.2021


13.04.2021


11.04.2021


08.04.2021


07.04.2021





Яндекс.Метрика

Омега-функция Райта

07.02.2021


Омега-функция Райта или функция Райта (обозначается ω) — математическая функция, определяемая через W-функцию Ламберта как:

ω ( z ) = W ⌈ I m ( z ) − π 2 π ⌉ ( e z ) . {displaystyle omega (z)=W_{{ig lceil }{frac {mathrm {Im} (z)-pi }{2pi }}{ig ceil }}(e^{z}).}

Применение

Одним из основных применений этой функции является решение уравнения z = ln(z), поскольку единственным решением является z = е−ω(π i).

y = ω(z) — единственное решение при z ≠ x ± i π {displaystyle z eq xpm ipi } , х ≤ −1 уравнения y + ln(y) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта является непрерывной, даже аналитической.

Cвойства

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению W k ( z ) = ω ( ln ⁡ ( z ) + 2 π i k ) {displaystyle W_{k}(z)=omega (ln(z)+2pi ik)} ,

Она также удовлетворяет дифференциальному уравнению

d ω d z = ω 1 + ω {displaystyle {frac {domega }{dz}}={frac {omega }{1+omega }}}

везде, где ω является аналитической (это можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение ln ⁡ ( ω ) + ω = z {displaystyle ln(omega )+omega =z} ) и, как следствие, его интеграл может быть выражен как:

∫ w n d z = { ω n + 1 − 1 n + 1 + ω n n if  n ≠ − 1 , ln ⁡ ( ω ) − 1 ω if  n = − 1. {displaystyle int w^{n},dz={egin{cases}{frac {omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{frac {omega ^{n}}{n}}&{mbox{if }}n eq -1,ln(omega )-{frac {1}{omega }}&{mbox{if }}n=-1.end{cases}}}

Его ряд Тейлора вокруг точки a = ω a + ln ⁡ ( ω a ) {displaystyle a=omega _{a}+ln(omega _{a})} принимает форму:

ω ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ q n ( ω a ) ( 1 + ω a ) 2 n − 1 ( z − a ) n n ! {displaystyle omega (z)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {q_{n}(omega _{a})}{(1+omega _{a})^{2n-1}}}{frac {(z-a)^{n}}{n!}}}

где

q n ( w ) = ∑ k = 0 n − 1 ⟨ ⟨ n + 1 k ⟩ ⟩ ( − 1 ) k w k + 1 {displaystyle q_{n}(w)=sum _{k=0}^{n-1}{igg langle }!!{igg langle }{egin{matrix}n+1kend{matrix}}{igg angle }!!{igg angle }(-1)^{k}w^{k+1}}

в котором

⟨ ⟨ n k ⟩ ⟩ {displaystyle {igg langle }!!{igg langle }{egin{matrix}nkend{matrix}}{igg angle }!!{igg angle }}

— эйлерово число второго порядка.

Значения

ω ( 0 ) = W 0 ( 1 ) ≈ 0.56714 ω ( 1 ) = 1 ω ( − 1 ± i π ) = − 1 ω ( − 1 3 + ln ⁡ ( 1 3 ) + i π ) = − 1 3 ω ( − 1 3 + ln ⁡ ( 1 3 ) − i π ) = W − 1 ( − 1 3 e − 1 3 ) ≈ − 2.237147028 {displaystyle {egin{array}{lll}omega (0)&=W_{0}(1)&approx 0.56714omega (1)&=1&omega (-1pm ipi )&=-1&omega (-{frac {1}{3}}+ln left({frac {1}{3}} ight)+ipi )&=-{frac {1}{3}}&omega (-{frac {1}{3}}+ln left({frac {1}{3}} ight)-ipi )&=W_{-1}left(-{frac {1}{3}}e^{-{frac {1}{3}}} ight)&approx -2.237147028end{array}}}

Графики

  • Plots of the Wright Omega function on the complex plane
  • z = Re (ω ( x + i y ))

  • z = Im (ω ( x + i y ))

  • ω ( x + i y )