Остаток ряда

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

r n = ∑ k = n + 1 ∞ a k {displaystyle r_{n}=sum _{k=n+1}^{infty }a_{k}}

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Свойства

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

Если ряд сходится, то сходится любой его остаток.

Если хотя бы один остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.

Если ряд сходится, то

lim n → ∞ ∑ k = n + 1 ∞ a k = 0 {displaystyle lim _{n o infty }sum _{k=n+1}^{infty }a_{k}=0}

Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).