Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.

Построение

Итеративный метод

Середины сторон равностороннего треугольника T 0 {displaystyle T_{0}} соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество T 1 {displaystyle T_{1}} , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество T 2 {displaystyle T_{2}} , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность T 0 ⊃ T 1 ⊃ ⋯ ⊃ T n ⊃ … {displaystyle T_{0}supset T_{1}supset dots supset T_{n}supset dots } , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника T 0 {displaystyle T_{0}} . 2. Вероятностное пространство ( 0 ; 1 ) {displaystyle (0;1)} разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору. 3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка P 0 {displaystyle P_{0}} . 4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского. 1. Генерируется случайное число n ∈ ( 0 ; 1 ) {displaystyle nin (0;1)} . 2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число. 3. Строится точка P i {displaystyle P_{i}} с новыми координатами: x i = x i − 1 + x A 2 ; y i = y i − 1 + y A 2 {displaystyle x_{i}={frac {x_{i-1}+x_{A}}{2}};y_{i}={frac {y_{i-1}+y_{A}}{2}}} , где: x i − 1 , y i − 1 {displaystyle x_{i-1},y_{i-1}} — координаты предыдущей точки P i − 1 {displaystyle P_{i-1}} ; x A , y A {displaystyle x_{A},y_{A}} — координаты активной точки-аттрактора. 5. Возврат к началу цикла.

Свойства

• Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность = ln ⁡ 3 / ln ⁡ 2 ≈ 1,585 {displaystyle =ln 3/ln 2approx 1{,}585} . В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Факты

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
• Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии.
• Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
• Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
• На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.
• Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах.

• Треугольник Серпинского

• Построение итеративным методом

• Построение методом хаоса

• Иллюстрация свойства самоподобия (рекурсии)