ГлавнаяПроблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого n > 1 {displaystyle n>1} существует такое число k = k ( n ) {displaystyle k=k(n)} , что всякое натуральное число N {displaystyle N} может быть представлено в виде:
x 1 n + x 2 n + … + x k n = N {displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+ldots +x_{k}^{n}=Nquad }с целыми неотрицательными x 1 , x 2 , … , x k {displaystyle x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{k}} .
Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Уорингом (Варингом), доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня.
Основные результаты
До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено k = 4 {displaystyle k=4} для проблемы в случае n = 2 {displaystyle n=2} .
Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом, оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.
В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод. Они ввели две функции — g ( n ) {displaystyle g(n)} и G ( n ) {displaystyle G(n)} ; g ( n ) {displaystyle g(n)} — наименьшее k {displaystyle k} такое, что проблема Варинга разрешима при N ⩾ 1 {displaystyle Ngeqslant 1} ; G ( n ) {displaystyle G(n)} — наименьшее k {displaystyle k} такое, что проблема Варинга разрешима при N ⩾ N 0 ( n ) {displaystyle Ngeqslant N_{0}(n)} . (Ясно, что G ( n ) ⩽ g ( n ) {displaystyle G(n)leqslant g(n)} .) Харди и Литтлвуд дали для G ( n ) {displaystyle G(n)} оценку снизу n < G ( n ) {displaystyle n<G(n)} , которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.
Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов.
Функция g ( n ) {displaystyle g(n)} известна. Для более фундаментальной функции G ( n ) {displaystyle G(n)} получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых n {displaystyle n} .
Функция g(n)
Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года, что:
g ( n ) = 2 n + [ ( 3 / 2 ) n ] − 2 {displaystyle g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2} .В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler) доказали, что это верно за исключением конечного числа значений n {displaystyle n} , превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.
Несколько первых значений g ( n ) {displaystyle g(n)} :
1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …Примечательно, что, например, для n = 3 {displaystyle n=3} только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.
Функция G(n)
В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм, это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для G ( n ) {displaystyle G(n)} . После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:
G ( n ) < 2 n log n + 4 n log log n + 2 n log log log n + 13 n {displaystyle G(n)<2nlog n+4nlog log n+2nlog log log n+13n} .Применяя сконструированную им p {displaystyle p} -адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил эту оценку. При n ⩾ 400 {displaystyle ngeqslant 400} :
G ( n ) < 2 n log n + 2 n log log n + 12 n {displaystyle G(n)<2nlog n+2nlog log n+12n} .В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года, затем — в 1995 году:
G ( n ) ⩽ n log n + n log log n + 2 + O ( log log n / log n ) {displaystyle G(n)leqslant nlog n+nlog log n+2+O(log log n/log n)} .Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью, в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года.
Фактически величина G ( n ) {displaystyle G(n)} известна только для 2 значений аргумента, именно G ( 2 ) = 4 {displaystyle G(2)=4} и G ( 4 ) = 16 {displaystyle G(4)=16} .
Сумма квадратов: G(2)
В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Таким образом G ( 2 ) = 4 {displaystyle G(2)=4} .
Сумма кубов: G(3)
Легко доказать, что G ( 3 ) ⩾ 4 {displaystyle G(3)geqslant 4} . Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.
Линник доказал, что G ( 3 ) ⩽ 7 {displaystyle G(3)leqslant 7} в 1943 году. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть G ( 3 ) = 4 {displaystyle G(3)=4} ), так как из чисел, меньших 1.3⋅109, последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью. Наибольшее известное число, не представимое в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850 соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 соответственно.
Сумма четвёртых степеней: G(4)
Известно значение для G ( 4 ) {displaystyle G(4)} — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт.
Для чисел вида 31·16n необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней. Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней, а любое число, большее него может быть представлено в виде суммы шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел меньших 10245 в 2000 году, а для остальных чисел в 2005 году улучшением результата Дэвенпорта.
Сумма пятых степеней: G(5)
617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅109, которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅109, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что G ( 5 ) < G ( 4 ) {displaystyle G(5)<G(4)} .
Помимо точных значений G ( n ) {displaystyle G(n)} открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми».
Обобщения
Проблема Варинга — Гольдбаха
Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.
Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху O ( n 2 log n ) {displaystyle O(n^{2}log n)} .
На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков, однако в единственной статье 2009 года даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха.
Точность представления целого числа суммой степеней
Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной 2 {displaystyle 2} .
Все натуральные числа, за исключением чисел вида 4 m ( 8 n + 7 ) , m , n = 0 , 1 , 2 , … , {displaystyle 4^{m}(8n+7),;m,;n=0,;1,;2,;ldots ,} представимы в виде x 2 + y 2 + z 2 {displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}} . Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу N {displaystyle N} можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как ( n + 1 ) 2 − n 2 = 2 n + 1 {displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1} и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из n 2 {displaystyle n^{2}} , то одним квадратом можно подойти к N {displaystyle N} на расстояние порядка N 1 / 2 {displaystyle N^{1/2}} . Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к N {displaystyle N} на расстояние порядка N 1 / 4 {displaystyle N^{1/4}} . А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что
min x , y ∈ Z | N − x 2 − y 2 | ⩽ N ε , {displaystyle min _{x,;yin Z}|N-x^{2}-y^{2}|leqslant N^{varepsilon },}где ε > 0 , ε {displaystyle varepsilon >0,;varepsilon } — любое, N ⩾ N 1 ( ε ) {displaystyle Ngeqslant N_{1}(varepsilon )} . Заменить 1 / 4 {displaystyle 1/4} в предыдущем рассуждении на 1 / 4 − c {displaystyle 1/4-c} со сколь угодно малым фиксированным c > 0 {displaystyle c>0} , не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века.
Многомерный аналог проблемы Варинга
В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:
x 1 n − i y 1 i + … + x k n − i y k i = N i , i = 0 , 1 , … , n {displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},quad i=0,;1,;ldots ,;n} ,где N i {displaystyle N_{i}} — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, N 0 → + ∞ {displaystyle N_{0} o +infty } , а x ϰ , y ϰ {displaystyle x_{varkappa },;y_{varkappa }} — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если k > c n 2 log n {displaystyle k>cn^{2}log n} , а если k < c 1 n 2 {displaystyle k<c_{1}n^{2}} , то существуют такие N i {displaystyle N_{i}} , что система не имеет решений.
Родственные задачи
В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел T n = ( n + 1 2 ) {displaystyle T_{n}={n+1 choose 2}} , а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана x 2 + y 2 + 10 z 2 {displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}} . Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.
Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи.