В объеме вместо двух есть три элементарных превращения системы зерен: кроме исчезновения (четырехгранного зерна — тетраэдра) и “переключения зерен” есть еще исчезновение грани. Все остальные превращения — цепь из этих трех.
Граф связей зерен в трех измерениях составлен из заполняющих объем тетраэдров (так как только четыре зерна соседствуют каждое с каждым). Описание его эволюции осложняет сильное топологическое ограничение: в трех измерениях любой многогранник имеет четное число (0, 2, 4, ...) граней с нечетным числом ребер.
Действительно, пусть у многогранника есть fк граней с к ребрами. Общее число его ребер r = (E kfk)/2 (здесь каждое ребро - общее для двух граней - было сосчитано дважды). Сумма Е kfk = 2r четна. Все грани с четным числом ребер вносили в нее некоторое четное число. Значит, и сумма по “нечетным” граням тоже была четна. Ho это возможно, лишь если таких граней четное число.
Тогда через грани с нечетным числом ребер всегда можно провести непрерывную линию, не пронизывающую ни одной грани с четным числом ребер. Через каждую грань проходит только одна такая линия Вследствие непрерывности она замкнута в кольцо либо кончается на поверхности. Поскольку четность никак не зависит от конкретных свойств многогранника, в любых превращениях зерен грани с нечетным числом ребер появляются и исчезают лишь парами. Когда исчезает треугольная грань или четырехгранное зерно, одновременно меняется число ребер у оставшихся граней, и четность сохраняется.
Главная