ГлавнаяЧисло граней g, ребер r и вершин v любого выпуклого многогранника связывает формула Эйлера (1759 г.)
Она доказывается по индукции. Любой выпуклый многогранник можно однозначно отобразить на вмещающую его сферу (проведя радиусы от центра сферы к вершинам). Поместив на сфере v = 3 вершины и соединив их r = 3 ребрами, получим g = 2 грани (одна грань — треугольник, вторая — вся остальная поверхность сферы)- Соотношение (4а) выполнено. Присоединим теперь к одному ребру треугольника снаружи новую грань, очертив ее цепью из к ребер и (k — 1) новых вершин. При этом g = 2+1, r = 3+k, v = 3+k-1, и соотношение (4a) по-прежнему выполнено. То Же даст и последовательное присоединение любого числа граней.
Если зерна заполняют пространство, то у каждого в вершине сходятся ровно три грани и три ребра. Из v вершин зерна исходят 3v ребер, и каждое сосчитано дважды (поскольку входит в две вершины), так что всего есть r = 3v/2 ребер. После подстановки этого r в формулу Эйлера (4а) остается всего одна независимая топологическая характеристика зерна - число граней g. Через него выражается число его ребер r и вершин v
Среднее число ребер у грани n3 = 2r/g = 3v/g и тогда
Средняя сумма внутренних углов грани п(n3 - 2), и если у полиэдра g граней, то из (5в) средняя величина плоского угла в них
Поскольку (5) верно для каждого отдельного зерна, суммируя (5а) и (56) по N >> 1 зернам, найдем и среднее для них = 3 - 6; и = 2 - 4. Пусть в разбиении пространства на одно зерно приходится в среднем G граней, R ребер и V вершин. Каждая грань принадлежит двум зернам, ребро — трем зернам, а вершина — четырем. Тогда для системы зерен = 2G; = 3R; = 4V, и из соотношений для , , следует R = 2G - 2; V = G - 1. Теперь число граней С, ребер R и вершин V в поликристалле связаны как
(это другая форма соотношения Эйлера — не для одного многогранника, а для разбиения пространства).