ГлавнаяРавные кубооктаэдры Кельвина уложены для заполнения пространства в правильную решетку. Противоположный способ заполнения: “самое случайное” разбиение пространства — на полиэдры Вороного (1908 г.). Здесь центры зерен рассеяны случайно (имеют пуассоново распределение с плотностью точек р = 1/ при среднем объеме зерна ). Каждый отрезок, соединяющий два центра, точно так же рассечен посредине нормальной к нему плоскостью, и множество таких плоскостей высекает зерно-многогранник, все точки в котором ближе к “своему” центру, чем к чужому. При таком разбиении пространства на каждом ребре тоже встречаются ровно три грани, а в каждой вершине - четыре ребра.
Полиэдры Вороного получаются, естественно, разного объема; вариация их объема составляет 42%. У случайных полиэдров Вороного разное число g граней, r ребер и v вершин, но средние для их совокупности значения , , вычислены точно. По сравнению с полиэдрами Кельвина (табл. 9) полиэдры Вороного “в среднем более многогранны”: = 15,5.
Распределение р(r) числа ребер в плоском сечении (а также p(g) граней — в объеме) для множества зерен (на шлифе или в численно синтезированных структурах -по сводке из 15 работ) хорошо аппроксимируется логарифмически нормальным р(х) ~ ехр[- (х/х0)2], где х = In g. Мерой однородности структуры может служить вариация этого распределения (или просто найденная величина х0).
Для численного моделирования иногда удобнее рассматривать не разбиение Вороного, а двойственное к нему разбиение Делоне. Система отрезков, соединяющих центры смежных зерен (рис. 94), тоже однозначно описывает разбиение пространства. Эти отрезки образуют тетраэдры - полиэдры Делоне (на плоскости — треугольники).
Обобщение разбиения Вороного - разбиение Лагерра, где каждому зерну приписан вес (и граница рассекает отрезок, соединяющий центры, не пополам, а в пропорции с весами зерен). Разбиение Вороного - это частный случай: веса зерен равные. Когда на микроструктуре Al2O3 выделили центры зерен, разбиение Лагерра с весами, пропорциональными площади зерен, лучше очертило наблюдаемую структуру, чем просто разбиение Вороного. (Ho надо заметить, что если на полиэдры Вороного разбит объем, то сечения этих зерен плоскостью шлифа не будут разбиением Вороного для плоскости).
Кроме “наиболее случайного” разбиения Вороного предлагалось много других способов случайного разбиения пространства. Так, из задачи Колмогорова о кристаллизации (1937 г) следует способ разбиения, известный также как разбиение Джонсона — Мела: в объеме постоянно возникают центры кристаллизации, от которых зерна растут с постоянной скоростью до столкновения. Скорость рождения центров пропорциональна объему, оставшемуся вне зерен. Результат отличается от модели Вороного не только средним числом граней, ребер и вершин [506], но и, главное, тем, что грани не плоские. Переменные скорости зарождения и роста вряд ли делали эту схему более реалистической: и при кристаллизации из расплава, и тем более при превращениях в твердом состоянии зарождение зерен не гомогенное, а рост анизотропный.