Новости

Новости

Заполнение пространства


Если соблюдать правило “на каждом ребре сходятся ровно три зерна”, то есть только один способ плотно заполнить пространство одинаковыми выпуклыми многогранниками при наибольшей возможной симметрии. Для этого надо задать ОЦК решетку центров зерен, а каждый отрезок, соединяющий два центра, рассечь посредине нормальной к нему плоскостью. Зерно определится как 14-гранник (тетракаидекаэдр, кубооктаэдр Кельвина, 1887 г.), все точки внутри которого ближе к “своему” центру, чем к чужому. У кубооктаэдра Кельвина (рис.93) есть g = 14 граней (из них 8-шестиугольных и 6-квадратных), r = 36 ребер и v = 24 вершин.
Заполнение пространства

Разбиение на одинаковые полиэдры Кельвина - единственное при этом “правиле стыковки”, сохраняющее плоские границы и изотропность структуры. Деформациями пространства, разбитого на полиэдры Кельвина, можно, конечно, получить другие разбиения, но на изоморфные им полиэдры. Вытяжка, изгиб, кручение дадут равные по объему, но анизотропные (и криволинейно очерченные) кубооктаэдры, неоднородная (но без разрывов) деформация — неравные. После этого нельзя “спрямить все грани”, так как у некоторых граней вершины окажутся не в одной плоскости. Можно также превратить кубооктаэдр Кельвина в 14-гранник с тем же числом ребер и вершин, преобразовав две смежные шести- и две четырехугольные грани в четверку пятиугольных граней (либо 8 — в 8), но он потеряет симметрию куба. Такие полиэдры заполнят пространство, но внесут в него анизотропию.
При данном объеме зерна V разбиение на кубооктаэдры Кельвина дает наименьшую площадь (и энергию) границ. Придавая небольшую двоякую кривизну граням кубооктаэдра, можно установить и равновесные двугранные углы а = 120°. Такую форму (с минимумом площади при равновесии в стыках) имеют ячейки мыльной пены.