Задача о строении границы зерна упрощается, если найти “внутренний масштаб” - характерный размер, определяющий структуру границы. Для некоторых границ уже из матрицы поворота ||aij|| видна периодичность строения.
Всегда есть хотя бы один “общий” атом, лежащий в узлах обеих решеток. Выберем его за начало отсчета и продолжим каждую из решеток на все пространство. Если компоненты матрицы ||aij|| — рациональные дроби, в решетке II существует еще хотя бы один узел, совпадающий с некоторым узлом решетки I. Пусть, например, ребро куба решетки II в базисе I изображается вектором a1 = (m/q)e1 + (n/q)e2 + (p/q)e3; где m, n, р, q — целые числа. Отсчитав от начального узла расстояние qa1, получим узел решетки II, совпадающий с узлом в I (его координаты в базисе I - целые числа m, n, р). Ho тогда qa1 — вектор трансляции в обеих решетках, и существует бесконечная цепочка совпадающих узлов с периодом qa1. Аналогично, если единичные векторы а2, а3 имеют рациональные координаты, существуют периоду вдоль а2 и а3, а таким образом и трехмерная бесконечная решетка узлов, общих для обеих решеток (рис. 83) — решетка совпадающих узлов или решетка совпадений. Необходимое и достаточное условие ее существования — рациональные компоненты ||aij||.