Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Строительная теплофизика
Прочность сплавов
Основания и фундаменты
Осадочные породы
Прочность дорог
Минералогия глин
Краны башенные
Справочник токаря
Цементный бетон




13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017


13.07.2017





Яндекс.Метрика
         » » Описание ориентировок

Описание ориентировок

27.07.2017

Сложность задачи - уже в большом многообразии самих границ. У плоской границы зерна не менее пяти степеней свободы: три от поворотов решетки одного зерна относительно другого (около трех ортогональных осей) и две — для ориентировки нормали n к плоскости границы относительно одной из решеток (вектор n единичный). Постановка задачи о строении границы должна включать эти пять параметров. У задачи два уровня: анализ геометрии границ зерна из разориентировок и “силовых” свойств, которые зависят и от характера межатомных взаимодействий.
Если с осями кубической решетки зерна I связать три взаимно перпендикулярных единичных вектора е1, е2, е3 (ортонормированный базис), то кристаллографически эквивалентные им направления в зерне II в этом базисе представляют единичные векторы
Описание ориентировок

составляющие ортогональную матрицу поворота

Эта матрица указывает положение единичных векторов второй решетки в координатах первой. (Для некубических решеток базис другой и представления матрицы поворота иные).
Три уравнения связи для коэффициентов аij следуют из условий |aj| = 1 и три — из условий ортогональности аiaj = 0. Поэтому в ||aij|| только три независимых компоненты. Из них можно найти вектор поворота со (с тремя независимыми компонентами wi), задав угол:

и компоненты единичного вектора оси поворота I||w:

Сложение двух последовательных поворотов 1 и 2 описывается умножением матриц поворота (1) или равносильным ему действием с векторами: суммарный поворот w1+2 = (w1 + w2 + w1хw2)/(1 — w1w2). Только при поворотах на малые углы |w| << 1 справедливо простое сложение двух векторов поворота: w1+2 = w1 + w2.
Для полного описания границы кроме поворота со надо задать еще положение плоскости границы в решетке I (единичным вектором нормали к границе n1).
Другое (эквивалентное) описание поворота не использует вектор со или матрицу ||aij|| явно. Вместо этого задано положение границы в обеих решетках: H1 в решетке I и n2 в решетке II (в координатах этой решетки). Этим определены четыре степени свободы границы. “Приложив” зерно IkII (совместив плоскости n1 и n2), повернем зерно II относительно I на некоторый угол vp около общей теперь нормали п. Теперь описание поворота полное: зафиксирована и пятая степень свободы. (Для отсчета w нужны в плоскостях n1 и n2 некие реперные линии — например, следы I плоскости плотной упаковки m на плоскости границы: I = (n*m)/|n*m|).
Преимущество описания поворота решеток в виде (n1, n2, w) в том, что через n прямо задана плотность рассеченных границей связей, которая и определяет энергию. (И кстати, эта плотность не зависит от угла у).
Свяжем эта два описания, найдя переход от (n1 ,n2, w) к матрице поворота А = |aij|. Введем базис M = (n, I, s) из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов: n, I и s = n*1. Матрица В, строки которой n, I и s, описывает поворот от осей куба к базису М, а матрица

поворот на угол w около нормали к границе n, т.е. от базиса M1 к M2. Поворот от осей куба I к M1 описывает матрица B1, от II к M2 — матрица B2, от M2 к кубу II — обратная матрица B2-1, и тогда весь поворот от зерна I к зерну II дает произведение матриц A = B2-1 wB1.