ГлавнаяПо определению все дефекты решетки есть нарушения укладки атомов в решетке. Величину этих нарушений описывают смещения u(r) атомов из узлов идеальной решетки. (Координаты r узлов отсчитываются от центра точечного дефекта или от “начального” узла на оси или поверхности дефекта). Смещения должны в общем убывать с расстоянием r от дефекта (иначе дефект неотличим от всей решетки). На бесконечном расстоянии от одиночного дефекта (|r| —> 00) решетка правильная: u —> 0.
Из необходимости “вписать” дефект в решетку следует симметрия поля смещений u(r). (Например, точечный дефект - кубической симметрии, если центр возмущения находится в узле кубической решетки, но тетрагональный, когда центр на ребре куба х = а/2). Линейный дефект будет иметь ту же периодичность возмущений u(1) вдоль своей оси 1, что и решетка в направлении 1. У двумерного дефекта двоякопериодическое строение.
Если смещения ближайших к центру атомов задать по определению дефекта, то смещения во всей остальной решетке находятся из условий равновесия каждого атома. Когда потенциал взаимодействия ф(r), на атом j из узла rj после его cмещения uju действует со стороны всех остальных N атомов в узлах ri (i = 1,2...N) суммарная сила Fj, которая в равновесии обращается в нуль
Векторная запись F = dф/du означает F = i dф/dux + j dф/duy + k dф/duz, так что уравнение (1) эквивалентно трем уравнениям для компонент вектора Fx, Fy, Fz. Система 3N скалярных уравнений при j = 1,2,...N определяет все поле смещений u(r).
Для неограниченной решетки (N —> 00) это бесконечная система существенно нелинейных алгебраических уравнений (1). Поэтому число N ограничивают линеаризацией: поскольку с удалением от дефекта u —> 0 при r —> 00, всегда можно выбрать такое расстояние R, что для всех |r| > R смещения и << b. Зона |r| > R — упругое поле дефекта, где деформации
малые (eij << 1), а потому все уравнения (1) в области |r| > R можно заменить одним уравнением равновесия однородной линейно упругой сплошной среды с постоянными модулями упругости. Если среда изотропна, то основное уравнение теории упругости
коэффициент Пуассона.