ГлавнаяПри температуре Т =/= 0 атом колеблется между крайними положениями х, и x2 с равной энергией ф(х1) = ф(х2) = kТ (рис.4). Потенциал
асимметричный, отчего |х1|=/=|х2|. Тогда колебания ангармонические, а положение центра масс x0 = (х1+х2)/2 смещается с температурой — происходит тепловое расширение. Относительное удлинение в результате нагрева е=х0/b, а линейный коэффициент теплового расширения aL = е/Т = x0/bT. Соответственно, объемный коэффициент теплового расширения
Чтобы выразить его через константы потенциала, обозначим у = ух/b и перепишем (8) в виде
Условием равенства энергий ф(y1) = ф(у2) будет (у21/2 - у31) = (у22/2 - y32) или (y21 - y22)/2 = (y31 - y32). Сократив его на (у1 - у2) и обозначив t = (y1 + у2)/2 (нормированная координата центра масс), получим квадратное уравнение для определения t(y1), а подстановка его решения в (10) дает
Оставляя для малых смещений t << 1 только первый член, получим ф(t) = ф"(0) (b/y)2t/2, где t = ух0/b = уе. Это энергия на одну связь, сообщенная при нагреве. Если учитывать только первую координационную сферу, то на один атом в решетке с координационным числом z энергия составит U = zф(t)/2 = zф''(0) (b/у)2t/4.
Объемный коэффициент теплового расширения aV = (dV/dT)p/V = (dV/dU)p(dU/dT)p/V или
Если при T = 0 объем на атом V(0) = qb3, то после нагрева V(t) = qb3(1+t/у)3 - поскольку удлинение связей от нагрева е = t/у, и тогда dK/dt = (3qb3/у)(1+//у)2 = 3qb3/у. Представляя (dU/dV)p = (dU/dt)(dt/dV), получим отсюда (dU/dV)p = zy''(0)/12qyb, после чего V(dU/dV)p = zb2ф"(0)/12у. Теплоемкость на один атом Cp = (dU/dT)p = 3k. Подставляя найденные производные в (12), находим
Таким образом, объемный коэффициент теплового расширения aV выражен через две другие константы: постоянную Грюнайзена у и вторую производную потенциала ф"(0). Ho она, в свою очередь, определима через объемный модуль упругости: zф"(0) = 18qbK, а потому имеет место также
