Новости

Новости

Анизотропия упругости кубической решетки


Удобно использовать в качестве трех независимых констант кубической решетки объемный модуль К и два независимых модуля сдвига, один из которых Л1212. Он указывает касательное напряжение o12 = 2e12Л1212, когда отличен от нуля только сдвиг е12 =/= 0 - по грани куба (100) в направлении [010] (и по закону парности также е21 =/= 0).
В общем же случае из (6) для сдвига в плоскости с нормалью n в направлении b модуль упругости Лnbnb = ani abk anl abm Лiklm =(Л1111 -Л1122 - Л1212)S + Л1212, где S = (n12b12 + n22b22 + n32b32) - симметричная функция компонент nj, bj единичных векторов n и b. Максимум и минимум S указывают наибольший и наименьший модули сдвига Лnbnb. Они достигаются при n = (100), b = [010], где S = 0 и Лnbnb = Л1212, и при n*=(100), b*=[011]/V2, где S=1 и Лnbnb = (Л1111 - Л1122)/2. Таким образом, крайние (и независимые) значения модуля сдвига — это Л1212 и (Л1111 - Л1122)/2. Они соответствуют двум сдвигам по грани куба: вдоль ее стороны или вдоль ее диагонали. Показатель анизотропии упругости кубической решетки - отношение этих модулей

Если qG=1, то модули сдвига одинаковы для любой плоскости и направления сдвига, так что тело изотропно.
Чтобы аналогично описать анизотропию модуля Юнга E = omm/emm (при одноосном растяжении вдоль произвольной оси m), выразим его через податливости ciklm. Поскольку отлично от нуля только напряжение omm, удлинение emm = cmmmmomm, а из (8) податливость Cmmmm = ami amk aml amn cikln = (a4ml + a4m2 + a4m3 c1111 + 2(a2m1 a2m2 + a2m1 a2m3 + a2m2 a2m3)(c1122 + c1212) = C1122 + c1212) + Q(c1111 - c1122 - c1212). Функция ориентировки Q = (a4m1 + a4m2 + a4m3) имеет экстремумы (задача 6) при m=<100> и m*=<111>/V3 (растяжение вдоль ребра куба и вдоль пространственной Диагонали). Им соответствуют наибольшее и наименьшее значения модуля Юнга E100 = (c1111)-1 и E111 = [(1111 + 2c1122 + 2c1212)/3]-1. Отсюда второй показатель упругой анизотропии кристалла qE = E100/E111 = 1+(2/3)(qG-1)[1-1/2+Л1111/Л1122)]. Знак отклонения qE от единицы тот же, что и для qG, а если qG = 1, тo и qЕ = 1 - для кубической решетки достаточно одного условия изотропности.

В табл. 2 сведены измеренные при 300 К модули упругости Лiklm для 46 металлов. Приведены также вычисленные из них показатели анизотропии qG и qE для кубических металлов. Они определяются местом металла в таблице Менделеева: qG > 1 только для V, Nb, Cr, Mo. Лишь вольфрам и в-кобальт можно считать изотропными (qG = 1,00±0,02). В других металлах наибольший и наименьший модули Юнга могут различаться почти в два раза, а модули сдвига — до восьми раз в щелочных и до трех-четырех в остальных металлах.