Новости

Новости

Постоянные упругости


Обратная зависимость — деформаций от напряжений elm = ciklm oik — выражается через постоянные упругости (податливости) ciklm (с размерностью [ciklm] = ГПа-1). Они тоже образуют тензор четвертого ранга, преобразуемый к новым осям по тому же правилу

Чтобы выразить постоянные упругости ciklm через модули упругости Лiklm при любой симметрии решетки, надо, развернув суммы по повторяющимся индексам eim = ciklm oik и olm = Лiklm eik, подставить одну в другую. Это даст системы уравнений: EiEm ciklm Лiklm = 1 для каждого ik и EiEm ciklm Лpqhn = 0, для каждого pq =/= ik.
Для кубической решетки только три независимых постоянных c1111, C1122 и C1212 и соотношения ciklm(Лiklm) можно увидеть из удобных частных случаев. Так, при одноосном растяжении два напряжения o22 = o33 = 0, а третье o11 = Л1111 е11 + 2Л1122 е22. Подстановка сюда деформации е11 = с1111 о11; е22 = с221 о11 дает Л1111с1111 + 2Л1122С2211 = 1. Другой случай: под гидростатическим сжатием е11 = с1111о11 + с1122о22 + с1133о33 = (с1111 + 2с1122)о11, и отсюда объемный модуль К = о11/3е11 = 1/3(с1111+2с1122), так что сопоставление с К = (Л1111 + 2Л1122)/3 дает (с1111 + 2с1122) = (Л1111 + 2л1122)-1. Третье: положив в тензоре деформаций ненулевыми только е12 = е21, получим е12 = с1212 о12, а о12 = Л1212 е12, откуда с1212 = (Л1212)-1. Полученных трех соотношений достаточно, чтобы выразить все три независимые ciklm через Лiklm (или наоборот).