ГлавнаяМодули упругости Лiklm анизотропного кристалла составляют тензор четвертого ранга. При повороте осей координат тензоры четвертого ранга преобразуются по соотношению
где ani = ni — косинус угла между осями n и i (заданными единичными векторами) и по всем повторяющимся индексам выполняется суммирование. Каждый из четырех индексов может иметь значения 1,2,3, так что в тензоре Лiklm всего 3в4=81 компонента. Поскольку тензоры деформаций и напряжений симметричны (eik = eki и oim= omi), от обмена местами индексов i <—> k, l <—> m напряжения olm = Лiklm eik меняться не должны, так что всегда Лiklm = Лkilm = Лikml = Лkiml). Оставшееся после этого число независимых и не равных нулю модулей зависит от симметрии решетки. Их может быть от 21 (для наинизшей -тригональной симметрии) до трех - в кубическом кристалле и двух в изотропном теле.
Для кубической решетки выберем координатные оси х, у, z вдоль осей куба. Отражение в плоскости симметрии (100) заменяет ось х на -х, отчего меняется знак косинуса axi, а с ним и соответствующих слагаемых в (6). Ho отражение в плоскости симметрии не может менять какие-либо физические постоянные решетки. Стало быть, тождественно равны нулю все Лiklm вида Лxklm и Лxxxm, содержащие один и тот же индекс х нечетное число раз (один или три). Тогда ненулевые компоненты тензора для кубических решеток в этих координатах обязаны иметь вид Лiiii, Лiikk, Лikik, и таких всего пятнадцать (3+6+6). Ho они не должны, кроме того, изменяться от любых переименований осей куба: x —> у—> z, так что Л1111 = Л2222 = Л3333; Л1122 = Л2233 = Л1133 = Л2211 = Л3322 = Л3311; и Л1212 = Л2323 = Л1313 = Л2121 = Л3232 = Л3131 (всего 12 равенств). Таким образом, в координатах, совпадающих с осями куба, отличны от нуля 15 компонент тензора модулей упругости кубической решетки Лiklm, но независимых из них всего три: Л1111; Л1122; Л1212. Через эти три величины можно выразить любые другие модули.
В частности, под гидростатическим давлением р напряжения o11 = o22 = o33 = -р. При этом вследствие симметрии кубической решетки удлинения е11=е22=е33 равны, а сдвигов нет: е12 = e23 = e31 = 0. Относительное изменение объема bV/V = e11 + e22 + e33 = 3e11, а плотность энергии U=K(bV/V)2/2 определяет только один модуль K = -V(bp/bV) — объемный модуль упругости. Обратная к нему величина 1/К — сжимаемость.
Из закона Гука (5) выпишем о11 = Л1111е11 + Л1122у22 + Л1133е33 = (Л1111 + 2Л1122)е11 и представим для кубической решетки объемный модуль в виде
